Te bewijzen :	1³ + 3³ + 5³ + ... + (2n − 1)³ = 2 n⁴ − n²
m.a.w.
Bewijs :
Deel I :	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is LL = 1³ = 1 (de eerste term) RL = 2.14 − 12 = 2 − 1 = 1   O.K. gelijk

Nu gaan we bewijzen dat  S( k ) ⇒  S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor  n = k + 1

Deel II :	Gegeven :	1³ + 3³ + 5³ + ... + (2k − 1)³ = 2k4 − k2     ( I.H.)
	Te bewijzen :	1³ + 3³ + 5³ + ... + (2k − 1)³ + (2k + 1)³ = 2(k+1)4 − (k+1)2
	Bewijs :	LL = (2k⁴ − k2) + (2k + 1)³
		__ = 2k⁴ − k² + 8k³ + 3.(2k)².1 + 3.(2k).1² + 1
		__ = 2k⁴ − k² + 8k³ + 12k² + 6k + 1   (*)
		__ = 2.(k⁴ + 4k³ + 6k² + 4k + 1) − k² − 2k − 1
		__ = 2.(k + 1)⁴ − (k² + 2k + 1)
		__ = 2.(k + 1)⁴ − (k + 1)²   Q.E.D

---

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I), n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ...   m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

---

I.H. = Inductiehypothese     Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel  I  = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

---

(*) Onze 'wegwijzer' vertelt ons dat we zouden moeten eindigen op −(k + 1)²
Daarom gaan we in de volgende stap  −k² − 2k − 1 afzonderen

---

Alternatief voor   Deel II van het Bewijs :

Deel II :	Gegeven :	1³ + 3³ + 5³ + ... + (2k − 1)³ = k2.(2k2 − 1)     ( I.H.)
	Te bewijzen :	1³ + 3³ + 5³ + ... + (2k − 1)³ + (2k + 1)³ = (k+1)2 [2(k+1)2 − 1]             = (k+1)2(2k2+4k+2−1) = (k+1)2 (2k2 + 4k + 1)
	Bewijs :	LL = k2.(2k2 − 1) + (2k + 1)³
		__ = 2k4 − k2 + 8k3 + 12k2 + 6k + 1
		__ = 2k4 + 8k3 + 11k2 + 6k + 1   V(−1) = 2−8+11− 6+1 = 0 → HORNER
		__ = (k + 1)(2k3 + 6k2 + 5k + 1)   V(−1) = −2+6− 5+1 = 0 → HORNER
		__ =(k + 1)2(2k2 + 4k + 1) = RL   Q.E.D.

---